赵树源线性代数习题四(B)题目和答案

第一篇：赵树源线性代数习题四(B)题目和答案

第四章

矩阵的特征值

习题四(B)1．三阶矩阵A的特征值为－2，1，3，则下列矩阵中非奇异矩阵是[

]。

CA2IA

B2IA【解】应选择答案A。因为：

由已知及特征值定义，A的特征方程IA0的根为－2，1，3，应有2IAIA3IA0，即有2IA(1)32IA0，知2IA为奇异矩阵；

由IA0知IA为奇异矩阵；

A3I(1)3IA0，知A3I为奇异矩阵；

DA3I IA而三阶矩阵只能有三个特征值，故2不可能是A的特征值，从而2IA0，即2IA为非奇异矩阵。

2．设02是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵(A)必有一个特征值为[

]。

3121A43

B34

C34

D43

【解】应选择答案B。因为：

02是矩阵A的一个特征值，即有A2，于是亦即1313AA221343A(A)13A(2)23A23(2)，，121对上式两端左乘(A)，得(A)(A)(A)()，312112121433334121(A)，331213整理得(A)，343121这说明是矩阵(A)的一个特征值。

43亦即 I

3．设1，2都是n阶矩阵A的特征值，12，且1与2分别是A的对应于1与2的

第四章

矩阵的特征值

习题四(B)特征向量，则[

]。

Ac10且c2Bc10且c2Cc1c2Dc10时，c11c22必是A的特征向量 0时，c11c22必是A的特征向量

0时，c11c22必是A的特征向量

0而c20时，c11c22必是A的特征向量

【解】应选择答案D。因为：

A当c10且c20时，c11c220102o为零向量，不可成为任一n阶矩阵A的特征向量；

B反设c11c22是A的特征向量，对应的特征值为，于是有 A(c11c22)(c11c22), 亦即为 c1(1)1c2(2)2o，由定理4.3，不同特征值对应的特征向量线性无关，由上式应有

c1(1)c2(2)0，而题设c10且c20，于是只能有120，亦即为 12，但这与题设12相矛盾，从而c10且c20时，c11c22不可能是A的特征向量；

C当c1c20时，有可能c1与c2同时为0，因为此时c11c22为零向量，所以c11c22“必”是A的特征向量的说法是错误的；

综上知，D正确。事实上：

当c10而c20时，c11c22c11，而已知1是A的对应于1的特征向量，即有AAc11c1A1c111=1(c11)，知此时c11c22是A的对应于1的特征向量。

第四章

矩阵的特征值

习题四(B)14．与矩阵A0010A012001000相似的矩阵是[

]。2110010

C020010110

D02002011 1010

B010【解】应选择答案C。因为：

设各选项矩阵分别为AA，AB，AC，AD，则由于A与AA，AB，AC，AD都是对角矩阵，因此它们的特征值都是其主对角线上的元素，即都是121，32，按定理4.7，只要看AA，AB，AC，AD是否满足：对每一个ni重特征值i，成立r(iIAK)nni者即与A相似，即：

0A对于121，有nni321，而由IAA001011，得

00r(IA)2，有r(iIAA)nni，A1即由定理4.7，00120011不与矩阵A01001000相似。210000，得1B0对于121，有nni321，而由IAB00r(IA)2，成立r(iIAB)nni，B1即由定理4.7，00110010不与矩阵A02001000相似。200010，得1C0对于121，有nni321，而由IAC00，成立r(iIAC)nni，r(IA)1C

第四章

矩阵的特征值

习题四(B)又对于32，有nni3112，而由2IAC0001010，得0r(2IAA)，成立2r(iIAA)nni，010110与矩阵A02001000相似。2111，得

0001综上，由定理4.7，000D对于121，有nni321，而由IAD00r(IA)2，有r(iIAA)nni； D1由定理4.7，00020111不与矩阵A01001000相似。2

5．矩阵A与B相似的充分必要条件是[

]。

AAB

Br(A)r(B)

CA与B有相同的特征多项式

Dn阶矩阵A与B有相同的特征值且n个特征值互不相同

【解】应选择答案D。因为：

1AAB是A与B相似的充分但不必要条件。如B001A0001000有AB，但由上面4题B知，A与B不相似。211000与矩阵211000与矩阵21Br(A)r(B)是A与B相似的充分但不必要条件。如B00

第四章

矩阵的特征值

习题四(B)1A0001000有r(A)r(B)3，但由上面4题B知，A与B不相似。2A与B相似的充分但不必要条件。如CA与B有相同的特征多项式，是1B00110010与矩阵A020010020具有相同的特征多项式(1)(2)，但由上面42题B知，A与B不相似。

D矩阵A与B相似的充分必要条件是“n阶矩阵A与B有相同的特征值且n个特征值互不相同”。这是定理4.6的推论。

6．设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，则[

]。

AIAIB

BA与B有相同的特征值和特征向量 CA与B都相似于一个对角矩阵 D对任意常数t，tIA与tIB相似

【解】应选择答案D。因为：

AA～B时，不一定有IAIB。

1如A00010010～B0200010010，2010，210但IA010100，IB2010对比可见IAIB。

BA与B相似，由定义4.3，有可逆阵P，使P1AP

B，亦即PABP11，第四章

矩阵的特征值

习题四(B)由定理4.5，A与B相似则有相同的特征值。于是可设A与B有相同的特征值0，并设A对应于0的特征向量为，即应有A0，于是在等号两端左乘P1，得PA0P，111111由于本小题的第一步所得的PABP，上式因此变化为BP0P，这说明B对应于0的特征向量为P，而P与未必相等，即说明A与B对应于相同的特征值未必有相同的特征向量。

1C由课本P183页末知，A41130020与约当矩阵J02013001001相似，1111而由课本P180页末又知，A4100不存在相似的对角矩阵，2因此，A与B相似，则A与B都相似于一个对角矩阵的判断未必正确。

综上知，D正确。事实上：

由于A与B相似，由定义4.3，有可逆阵P，使PAPB，于是，对任意常数t，P(tIA)PtPPPAP

亦即为

P(tIA)P(tIB)，由定义4.3，这说明tIA与tIB相似。

07．设三阶矩阵Ax101010有三个线性无关的特征向量，则x[

]。011111A1

B0

C1

D2

【解】应选择答案B。因为：

第四章

矩阵的特征值

习题四(B)010(1)(1)(1)(1)，得A的特征值

22由IAx11011，231，由定理4.6，有三个线性无关特征向量的三阶矩阵A必与对角矩阵相似，从而由定理4.7，对于2重特征值1，由于nni321，应有r(IA)1，1而由于IAx10001100100001x，即应有x0。0

18．设矩阵A与B相似，其中A102x032，已知矩阵B有特征值1，2，3，则x[

]。1A4

B3

C4

D3

【解】应选择答案A。因为：

题设AB，由定理4.5知，A与B有相同的特征值1，2，3，再由定理4.4，A的所有特征值之和等于A的主对角线上元素之和，即有

1231x1

解之得

x4。

9．下述结论中，不正确的是[

]。

A若向量与正交，则对任意实数a，b，a与b也正交

B若向量与向量1，2都正交，则与1，2的任一线性组合也正交 C若向量与正交，则，中至少有一个是零向量 D若向量与任意同维向量正交，则是零向量

【解】应选择答案C。因为：

第四章

矩阵的特征值

习题四(B)A若向量与正交，由定义4.7，成立T0，于是，对任意实数a，b，有(a)T(b)abTab00，即由定义4.7知，a与b也正交。命题正确而非不正确。

B若向量与向量1，2都正交，由定义4.7，成立1T于是，对1，2的任一线性组合a1b2，成立

0，20，T(a1b2)[(a1)(b2)][a1b2]

a1b2a0b00，TTTTTTTT由定义4.7知，与1，2的任一线性组合也正交。命题正确而非不正确。

C若向量与正交，由于正交定义4.7并未指定与是否为零向量，因此本命题肯定说正交向量，中至少有一个是零向量不正确。

事实上，当，中至少有一个是零向量时，必成立0，而当，中都

T不是零向量时，仍可能成立0，如(0,1)而(1,0)时，它们都不是零向量，但

T成立0。TD若向量与任意同维向量正交，不妨设为n维向量T(a1,a2,,an)，则与初始单位向量组1，2，„，n正交，即有k0（k1,2,,n），亦即ak10（k1,2,,n），从而的n个分量都为零，即是零向量。命题正确而非不正确。

10．设A为n阶实对称矩阵，则[

]。

ABCDA的n个特征向量两两正交

A的n个特征向量组成单位正交向量组 A的k重特征值0，有r(0IA)nk A的k重特征值0，有r(0IA)k

【解】应选择答案C。因为：

第四章

矩阵的特征值

习题四(B)A关于实对称矩阵的特征向量的正交判断定理仅有定理4.12，而且定理指明：对应于不同特征值的特征向量才是正交的，因此，本题的正交条件不足，仅为“实对称矩阵”，难

2以保证特征向量两两正交。事实上，课本P191例5中，实对称矩阵A=22T25424有5T2=(2,0,1)，特征值1=2=1，其中对应于1=2=1的特征向量为1=(2,1,0)，3=10。2T显见12=(2,1,0)040040，说明1与2就不是正交的； 1B由A知，A的n个特征向量尚且不一定两两正交，那就更不一定能组成单位正交向量组了；

C“A的k重特征值0，有r(0IA)nk”是n阶实对称矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件——定理4.7，而本题已知“A为n阶实对称矩阵”，由定理4.13知其必与对角矩阵相似，从而本判断是正确的；

D由定理4.7及C的判断，A的k重特征值0，应有r(0IA)nk成立而不是r(0IA)k成立。

*11．A为3阶矩阵，1，2，3为其特征值，limAO的充分条件是[

]。

nnA1C11，21，31

B11，231 1，21，31

D1231

【解】应选择答案C。因为：

由定理4.14，n阶矩阵A成立limAO的充分必要条件为A的一切特征值的模小于

nn1。可知仅有条件C可选。

第二篇：线性代数附录答案习题1和习题2

习题一

1.计算下列排列的逆序数

1）9级排列 134782695；

2）n级排列

n(n1)2。1

解：（1）(134782695)04004200010 ；

（2）[n(n1)21](n1)(n2)102.选择i和k，使得：

1）1274i56k9成奇排列；

2）1i25k4897为偶排列。

解：（1）令i3,k8，则排列的逆序数为：(127435689)5，排列为奇排列。从而i3,k8。

（2）令i3,k6，则排列的逆序数为：(132564897)5，排列为奇排列。与题意不符，从而i6,k3。3.由定义计算行列式

n(n1)。2a11a21 a31a41a51 aaaaa1222324252000aa000a53a43000。a5a4444555解：行列式＝j1j2j3j4j5(1)(j1j2j3j4j5)a1j1a2j2a3j3a4j4a5j5，因为j1,j2,j3至少有一个大于3，所以a1j1a2j2a3j3中至少有一数为0，从而a1j1a2j2a3j3a4j4a5j50（任意j1,j2,j3,j4,j5），于是j1j2j3j4j5(1)(j1j2j3j4j5)a1j1a2j2a3j3a4j4a5j50。

4.计算行列式： 40211）131； 2）

12241141111； 3）

1111011***； 07a213279b24）；5）21284c1512525d2146416(a1)2(b1)2(c1)2(d1)2(a2)2(b2)2(c2)2(d2)2(a3)2(b3)2。2(c3)(d3)2解：（1）－40 ；（2）－16 ；（3）0 ；（4）－1008 ；（5）0。

5.计算n阶行列式：

xy0001230xy0011000x00022 1）； 2）000xy000y000x000n1n0000；

2n0n11n1a1111a2 3）11xy1222122221（ai0）； 4）2232。1an222n00y0000x00xy00解：（1）原式=x(1)n1y0x00（按第一列展00xy000x00xy开）

=xn(1)n1yn。n(n1)232010002（2）行列式=000000n1n0000（后n1列和加到第一列，2n001n再按第一列展开）

n(n1)(1)(2)(1n)

=2(n1)!

=(1)n1。

2111101a11111a21（第一行第一列为添加的部分，注意（3）行列式=00111an此时为n1级行列式）

11101c11c2100a11c1c3a

2r2r1r3r11a111011a1an0001a100101000a2rn1r11c1cn1ana20

0anan

=(111)a1a2an。a1an1222000r2r11r3r10（4）行列式101rnr1100n222210210=1(1)（按第二行展开）00n22(n2)!。提高题

1.已知n级排列j1j2jn1jn的逆序数为k，求排列jnjn1j2j1的逆序数。解：设原排列j1j2jn1jn中1前面比1大的数的个数为k1，则1后面比1大的数的个数为(n1)k1，于是新排列jnjn1j2j1中1前比1大的个数为(n1)k1个；依此类推，原排列j1j2jn1jn中数i前面比i大的数的个数为ki，则新排列jnjn1j2j1中n)1i前比in大的个数为

(ni)ki个记(j1j2njkj1k2k1，k故新排列的逆序数为

n(n1)k。2[(n1)k1][(n2)k2][(n(n1)kn1]12(n1)k2.由行列式定义计算

2xx121x114 f(x)中x与x3的系数，并说明理由。

32x1111x解： 由于行列式定义中的每一项来自于不同行和不同列的n个元素的乘积。而该行列式中每个元素最高含x的一次项，因此x4的项只能由对角线上的元素乘积所得到x4，故x4的系数为(1)(1234)2＝2。

同样的考虑可得x3的系数为(1)(2134)＝－1。

1xx21a1a1223.设P(x)1a2a221an1an1xn1a1n1n1，其中ai互不相同。a2n1an

11）说明P(x)是一个n1次多项式；

2）求P(x)0的根。

解：1)把P(x)按第一行展开得：P(x)A111A12xA1nxn1。11而A1n1a1a2a1n2n2a20，所以P(x)是一个n1次多项式。

n2an1an1根据范德蒙行列式

P(x)(xa1)(xa2)(xan1)(a1a2)(a1an)(a2a3)(a2an1)(an2an1)

2)因为xai（i1,2,,n1）代入P(x)中有两行元素相同，所以行列式为零，从而P(x)0的根为a1,a2,,an1。

习题二解答

1.计算 1）x1x2a11x3a21a31a12a22a32a13x1a23x2 ；

a33x3010；求 A2、A3、A4。2）已知A1010222解：1）a11x1 ； (a12a21)x1x2(a13a31)x1x3a22x2(a23a32)x2x3a33x3000000000 ；A3 ；A4。

2）A2100000000100100000003111112.设 1）A212，B210，求 ABBA。

101123abc1ac

2）Acba，B1bb，求 AB。

1111caabca2b2c22222解：1）20 ；2）abc0b2ac4423abc3.设A是n阶实方阵，且AA0。证明A0。

b22ac222abc。abca11a12a21a22证明：设Aan1an2a1na11a21a2na12a22，则Aanna1na2nan1an2。从而。ann2a121a221an1222aaa1222n2AA0。

222a1na2nann222222222所以a11a21an1a12a22an2a1na2nann0。因为aij为实数，故aij0（i,j1,2,,n）。即A0。

a1a2，a,a,,a互不相同。证明与A可交换的矩阵只4.设An12an能为对角矩阵。

b11b12b21b22证明：设与A可交换的矩阵为Bbn1bn2a1b11a1b12a2b21a2b22 anbn1anbn2b1nb2n，由ABBA得： bnnanb1nanb2n。anbnna1b1na1b11a2b12a2b2na1b21a2b22anbnna1bn1a2bn2即 aibijajbij（i,j1,2,,n）。由于a1,a2,,an互不相同，所以ij时，b1100b22bij0。故B0bn200。即B为对角矩阵。05.证明任一方阵可表示成一对称矩阵和一反对矩阵之和。证明：设A为方阵，记B(AA)2，C(AA)2，则可知B为对称矩阵，C为反对称矩阵。且ABC。

6.设f()amma1a0，定义f(A)amAma1Aa0E，其中A211是n阶方阵。已知f()21，A312，计算f(A)。110513解：f(A)A2AE803。2127.已知方阵A满足A2A7E0。证明A及A2E可逆，并求它们的逆矩阵。

证明：由A2A7E0，可得：A(AE)7E。所以A可逆，且A1(AE)。7同理由A2A7E0，可得：(A3E)(A2E)E。所以A2E可逆，且(A2E)1A3E。

8.求下列矩阵的逆阵：

21122313 ；3）110 ； 1） ；2）12121121112111121111121 ；5）。4）1111211111215解：1）2533111435 ；2）1131 ；3）153 ； 41113164511118421842111111。4）；5）

844111116111184229.已知A120，且ABA2B，求B。12301011121，解：由ABA2B，可得B(A2E)A。又(A2E)2131120所以B(A2E)1A152。26110.设A是n阶方阵，如果对任意n1矩阵X均有AX0。证明A0。

a11a12a21a22证明：记Aan1an2a1n1a2n0，取X，由AX0，可得ai10

0ann0（i1,2,,n）。同理可得aij0（i,j1,2,,n）。从而A0。11.已知4阶方阵A的行列式A5，求A*。

解：因为 AAAE，两边取行列式有 AAA。所以 A*53125。

4A12.设A，B分别为m，n阶可逆方阵，证明分块矩阵C证明：因为 A，B可逆，所以 A0，B0。故

0 可逆，并求逆。

BA0AB0，从而CBAC0X11可逆。记BX21X12A是CX220A的逆，则BC0X11BX21X12E，X22AX11EX11A1AX120A0X120于是，解得。故矩阵的逆为11CBX21BCACX11BX2101CX12BX22EX22BA111BCA0。1BA111，其中A，C存在，求X。0013.设XC0解：因为 CA0C10XE，所以0A10CA0C1。的逆为100A14.求下列矩阵的秩：

2241143213113021 ；

1）213 ；2）112111370513122111aa2

3）1bb21cc2a3b3。c3解：1）2。2）4。3）当abc时，秩为1；当a,b,c有某两个相等时，秩为2；当a,b,c互不相等时，秩为3。

提高题

1.秩为r的矩阵可表示为r个秩为1的矩阵之和。

证明：设矩阵A的秩r，由推论1结果可知：存在可逆矩阵P和Q使得EPAQr001Er，即 AP00010Ir1I1 QP[000001其中 ]Q，0Ik（k1,2,,r）表示第k行k列元素为

1、其余元素为0的r阶方阵。记A1[Ik01kP00 ]Q（k1,2,,r），则Ak的秩为1，且AA1Ak。2.设mn矩阵A的秩为1，证明：

a11）A可表示成b1bn； am2）A2kA(k是一个数)。

证明：1）因为A的秩为1，所以存在某元素aij0。记A的第i行元素为b1,,bn，则A的任一行向量可由第i行线性表示（否则与i行向量线性无关，与A的秩为1矛盾）。记a1,,an依次为第1行、、第n行的表示系数，则有Aa1b1bn。

ama12）由1）Ab1bn，所以

amA2[a1ba1](ba11bn][b1bn1a1bnan)b1amamama1

kbb1n（其中kb1a1bnan）。

am1 设A是n阶方阵，X是n1矩阵13.，证明：

1

1）AX的第i个元素等于A的第i行元素之和；

2）如果A可逆，且A的每一行元素之和等于常数a，则A1的每一行元素之和也相等。

bna11a12a21a22证明：1）记Aan1an2a1na11a12a1na2naaa21222n，则AX。

annaaannn1n2aa

2）若A的每一行元素之和等于常数a，由1）AXaX，由于Aa可逆，所以a0。从而A1X11X，即A1的每一行元素之和等于常数。aa4.证明：

1）上（下）三角矩阵的乘积仍是上（下）三角矩阵；

2）可逆的上（下）三角矩阵的逆仍是上（下）三角矩阵。证明：1）记Aaijnn，Bbjknn为上三角矩阵，CAB。则ijk时，aij0，bjk0。对任意s，当is时，ais0，当kis时bsk0，即任意s，aisbsk0。从而ik时，cikai1b1jaisbskainbnk0。故上三角矩阵的乘积仍是上三角矩阵。同理可证明下三角矩阵的情形。

a11a120a22

2）对可逆的上三角矩阵A00a11a120a22对于AE00变换

a1na2n，aii0（i1,2,,n），anna1na2nann100010，先进行第二类初等行

0011，再作第三类初等行变换把左边变成单位矩阵时，右边ri（i1,2,,n）aii即为上三角矩阵。亦即可逆的上三角矩阵的逆仍是上三角矩阵。5.已知实三阶方阵A满足：1）aijAij；2）a331。求A。解：因为AAAE，所以AAA。由于aijAij，从而有AAA。于是A0或A1。

若A0，则AAAA0，由于A为实三阶方阵，由习题3可得A0。此与a331矛盾。从而A1。

6.设AE，其中是n1非零矩阵。证明：

1）A2A的充分必要条件是1； 2）当1时，A是不可逆矩阵。

证明：1）若A2A，即有E(2)E。又是n1非零矩阵，所以是nn非零矩阵，从而21，即1。以上每步可逆，故命题成立。

2）当1时，由1），A2A。若A可逆，则可得A0，矛盾。故A是不可逆矩阵。

7.设A，B分别是nm、mn矩阵，证明：3EmABEnABEmBA。EnBEnAB；EnEm0Em证明：因为AAEnEm又ABEmEn0BEm，所以EnABABEm0EmBABEm，所以AEnAE0EnnBEmBA。从而命En题成立。

8.A，B如上题，0。证明：EnABnmEmBA。

0EmEm证明：由于0，可得1AAEnEmBEn0B，所以 1EnABEmABEnEm0BmnEnAB； 1EnABEm又ABEm0EmBABEm，故AEnAE0EnnBEmBA。从而EnEnABnmEmBA。